冪函數(shù)高三(求有關(guān)冪函數(shù)的一切知識(shí))
1.求有關(guān)冪函數(shù)的一切知識(shí)
簡(jiǎn)介
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量 冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
當(dāng)a取非零的有理數(shù)時(shí)是比較容易理解的，而對(duì)于a取無(wú)理數(shù)時(shí)，初學(xué)者則不大容易理解了。因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無(wú)理數(shù)的問(wèn)題，只需接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可，因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識(shí)。
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特性
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分?jǐn)?shù)（即p、q互質(zhì)），q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)下（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞）。當(dāng)指數(shù)a是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意[實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0或x>0的所有實(shí)數(shù)，q不[能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于或等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
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定義域
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，
因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
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第一象限
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)（1,1）這點(diǎn).（a≠0） a>0時(shí) 圖象過(guò)點(diǎn)（0,0）和（1,1）
(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凸；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)顯然冪函數(shù)無(wú)界限。
(6)a=2n，該函數(shù)為偶函數(shù) {x|x≠0}。
(7) 0<a<1時(shí)，只在第一象限內(nèi)有圖像，即x≥0.
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圖象
冪函數(shù)的圖象：
2.高一數(shù)學(xué) 冪函數(shù) 性質(zhì) 歸納 100分
冪函數(shù)y=x^α重點(diǎn)是α=±1，±2，±3，±1/2.
1. α=0.
y=x^0.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），平行于x軸的直線一條（剔去點(diǎn)（0,1）).
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：{1}.
奇偶性：偶函數(shù)
2. α∈Z+.
①α=1
y=x
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），一、三象限的角平分線（包含原點(diǎn)（0,0）).
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. （-∞，+∞）
單調(diào)性：增函數(shù)。
奇偶性：奇函數(shù)。
②α=2
y=x^2
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），拋物線.
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. [0，+∞）
單調(diào)性：減區(qū)間（-∞，0]，增區(qū)間[0，+∞）
奇偶性：偶函數(shù)。
注：當(dāng)α=2n, n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
③α=3
y=x^3
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），立方拋物線.
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. （-∞，+∞）
單調(diào)性：增函數(shù)。
奇偶性：奇函數(shù)。
注：當(dāng)α=2n+1, n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
3.α是負(fù)整數(shù)。
①α=-1
y=x^(-1).
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），雙曲線.
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：. （-∞，0）∪（0，+∞）
單調(diào)性：減區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）。
奇偶性：奇函數(shù)。
②α=-2
y=x^(-2)。
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），分布在一、二象限的擬雙曲線.
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：（0，+∞）
單調(diào)性：增區(qū)間（-∞，0），減區(qū)間（0，+∞）
奇偶性：偶函數(shù)。
注：當(dāng)α=-2n, n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
③α=-3
y=x^(-3)
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），雙曲線型.
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：（-∞，0）∪（0，+∞）
單調(diào)性：減區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）
奇偶性：奇函數(shù)。
注：當(dāng)α=-2n+1, n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
4.α是正分?jǐn)?shù)。
①α=1/2.
y=x^(1/2)=√x.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），分布在一象限的拋物線?。êc(diǎn)）。
定義域：[0，+∞）.
值域：[ 0，+∞）.
單調(diào)性：增函數(shù)。
奇偶性：非奇非偶。
注：當(dāng)α=（2n+1）/(2m), m,n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
②α=1/3.
y=x^(1/3)
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），與立方拋物線y=x^3關(guān)于直線y=x對(duì)稱。.
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. （-∞，+∞）.
單調(diào)性：增函數(shù)。
奇偶性：奇函數(shù)。
注：當(dāng)α=（2n-1）/(2m+1), m,n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
5.α是負(fù)分?jǐn)?shù)。
①α=-1/2.
y=x^(-1/2)=1/√x.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），只分布在一象限的雙曲線弧。
定義域：（0，+∞）.
值域：（ 0，+∞）.
單調(diào)性：減函數(shù)。
奇偶性：非奇非偶。
注：當(dāng)α=-（2n-1）/(2m), m,n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
②α=-1/3.
y=x^(-1/3)=1/(3)√x.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），雙曲線型。
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
單調(diào)性：減區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）。
奇偶性：奇函數(shù)。
注：當(dāng)α=-（2n-1）/(2m+1), m,n∈N+時(shí)，冪函數(shù)y=x^α也具有上述性質(zhì)。
3.高中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一、函數(shù)的概念與表示
1、映射
(1)映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對(duì)于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B。
注意點(diǎn)：（1）對(duì)映射定義的理解。（2）判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。一對(duì)多不是映射，多對(duì)一是映射
2、函數(shù)
構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 ①定義域②對(duì)應(yīng)法則③值域
兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同
二、函數(shù)的解析式與定義域
1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：
(1)分式的分母不為零；
(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；
(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；
(4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
三、函數(shù)的值域
1求函數(shù)值域的方法
①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)；
②換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；
③判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次且 ∈R的分式；
④分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時(shí)要畫(huà)圖）；
⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；
⑥圖象法：二次函數(shù)必畫(huà)草圖求其值域；
⑦利用對(duì)號(hào)函數(shù)
⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對(duì)值函數(shù)
四.函數(shù)的奇偶性
1.定義： 設(shè)y=f(x),x∈A，如果對(duì)于任意 ∈A，都有 ，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。
如果對(duì)于任意 ∈A，都有 ，則稱y=f(x)為奇
函數(shù)。
2.性質(zhì)：
①y=f(x)是偶函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱， y=f(x)是奇函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
②若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1 ,D2,D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱]
3.奇偶性的判斷
①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ②看f(x)與f(-x)的關(guān)系
五、函數(shù)的單調(diào)性
1、函數(shù)單調(diào)性的定義：
2 設(shè) 是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則 在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則 在M上是增函數(shù)。
4.高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分詳細(xì)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
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《函數(shù)》知識(shí)要點(diǎn)和基本方法
1.映射定義：設(shè)非空集合A,B，若對(duì)集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對(duì)應(yīng)，則稱從A到B的對(duì)應(yīng)為映射。若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則從A到B可建立nm個(gè)映射。
2.函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A,B上的映射f。此時(shí)稱數(shù)集A為函數(shù)f(x)的定義域，集合C={f(x)|x∈A}為值域，且CB。
3.定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素。
相同函數(shù)的判斷方法：①定義域、值域；②對(duì)應(yīng)法則。（兩點(diǎn)必須同時(shí)具備）
4.求函數(shù)的定義域常涉及到的依據(jù)為：①分母不為0；②偶次根式中被開(kāi)方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義；⑥正切函數(shù)角的終邊不在y軸上。
5.函數(shù)解析式的求法：①配湊法；②換元法：③待定系數(shù)法；④賦值法；⑤消元法等。
6.函數(shù)值域的求法：①配方法；②分離常數(shù)法；③逆求法；④換元法；⑤判別式法；⑥單調(diào)性法等。
7.函數(shù)單調(diào)性及證明方法：
如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)），那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。
第一步：設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并對(duì)1120②從33例例【題型例6C13415(
