圓錐曲線復(fù)習(xí)(我想知道圓錐曲線的知識點總結(jié),平時最容易考到的題的總結(jié)等)
1.我想知道圓錐曲線的知識點總結(jié),平時最容易考到的題的總結(jié)等
橢圓 一、知識表格 項目 內(nèi)容 第一定義 平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫橢圓。
第二定義 平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡叫橢圓。 圖形 標準方程 幾 何 性 質(zhì) 范圍 頂點與長短軸的長 焦點焦距 準線方程 焦半徑 左 下 焦準距 離心率 （越小，橢圓越近似于圓） 準線間距 對稱性 橢圓都是關(guān)于軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱 通徑 焦點三角形 橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形，其周長為，解題中常用余弦定理和勾股定理來進行相關(guān)的計算 焦點弦三角形 橢圓的一焦點與過另一焦點的弦組成的三角形，其周長為。
參數(shù)方程 為參數(shù)） 為參數(shù)） 注意： 1、橢圓按向量平移后的方程為：或，平移不改變點與點之間的相對位置關(guān)系（即橢圓的焦準距等距離不變）和離心率。 2、弦長公式： 已知直線：與曲線交于兩點，則 或 3、中點弦問題的方法：①方程組法，②代點作差法。
兩種方法總體都體現(xiàn)高而不求的數(shù)學(xué)思想。 雙曲線 項目 內(nèi)容 第一定義 平面內(nèi)與兩個定點的距離之差等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線。
第二定義 平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡叫雙曲線。 圖形 標準方程 幾 何 性 質(zhì) 范圍 頂點與實虛軸的長 焦點焦距 準線方程 焦半徑 當(dāng)在右支上時 左 當(dāng)在左支上時 左 當(dāng)在上支上時 下 當(dāng)在下支上時 下 漸近線方程 焦準距 離心率 （越小，雙曲線開口越?。?，等軸雙曲線的 準線間距 對稱性 雙曲線都是關(guān)于軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱 通徑 焦點三角形 雙曲線上一點與雙曲線的兩個焦點組成的三角形，解題中常用余弦定理和勾股定理來進行相關(guān)的計算 焦點弦三角形 雙曲線的一焦點與過另一焦點的弦組成的三角形。
參數(shù)方程 為參數(shù)） 為參數(shù)） 項目 內(nèi)容 定義 平面內(nèi)到定點的距離等于到定直線距離的點的軌跡叫拋物線。 圖形 標準方程 幾 何 性 質(zhì) 范圍 開口方向 向右 向左 向上 向下 焦準距 頂點坐標 坐標原點（0,0） 焦點坐標 準線方程 對稱軸 軸 軸 軸 軸 離心率 通徑長 焦半徑 拋物線 一、焦點弦的結(jié)論：（針對拋物線：其中），為過焦點的弦，則 1、焦點弦長公式： 2、通徑是焦點弦中最短的弦其長為 3、，， 4、以焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切 5、已知、在準線上的射影分別為、，則三點、、共線，同時 、、三點也共線 6、已知、在準線上的射影分別為、，則 7、 二、頂點直角三角形：直角頂點在拋物線頂點的三角形與其對稱軸交于一個定點 ，反之，過定點的弦所對的頂點角為直角。
三、從拋物線的焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后與拋物線的對稱軸平行。 橢圓基礎(chǔ)練習(xí)題 橢圓（一） 1.橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.橢圓的焦點坐標是（ ） A.（±5,0） B.(0，±5) C.(0，±12) D.（±12,0） 3.已知橢圓的方程為，焦點在x軸上，則其焦距為（ ） A.2 B.2 C.2 D. 4.，焦點在y軸上的橢圓的標準方程是 .5.方程表示橢圓，則α的取值范圍是（ ） A. B. C.∈Z) D. ∈Z） 橢圓（二） 1.設(shè)F1、F2為定點，|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則動點M的軌跡是 （ ） A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段 2.橢圓的左右焦點為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為 （ ） A.32 B.16 C.8 D.4 3.設(shè)α∈（0，），方程表示焦點在x軸上的橢圓，則α∈ （） A.(0, B.(,) C.(0,) D.〔，） 4.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是______. 5.方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是______. 6.在△ABC中，BC=24,AC、AB的兩條中線之和為39，求△ABC的重心軌跡方程. 橢圓（三） 1.選擇題 （1）已知橢圓上一點P到橢圓的一個焦點的距離為3，則P到另一個焦點的距離是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 (2)已知橢圓方程為，那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. (3)如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是 （ ） A.(0，+∞) B.(0,2) C.(1，+∞) D.(0,1) (4)已知橢圓的兩個焦點坐標是F1(-2,0),F2(2,0)，并且經(jīng)過點P（)，則橢圓標準方程是______. （5）過點A(-1,-2)且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是______. （6）過點P(,-2),Q(-2,1)兩點的橢圓標準方程是______. 橢圓（四） 1.設(shè)0≤α A.(, ) B.(, ) C.(,) D.（，π） 2.方程（a>b>0,k>0且k≠1），與方程（a>b>0）表示的橢圓 （ ） A.有等長的短軸、長軸 B.有共同的焦點 C.有公共的準線 D.有相同的離心率 3.中心在原點，焦點在x軸上，焦距等于6，離心率等于，則此橢圓的方程是（ ） A. B. C. D. 4.若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（ ） A.-16。
2.關(guān)于圓錐曲線知識點總結(jié)
解析幾何的基本問題之一：如何求曲線（點的軌跡）方程。
它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關(guān)的方程（等量關(guān)系），側(cè)重于數(shù)的運算，一是尋找與動點有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運用。
在基本軌跡中，除了直線、圓外，還有三種圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線。1、三種圓錐曲線的研究 （1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集： ，其中F為定點，d為P到定直線的l距離，F(xiàn) l，如圖。
因為三者有統(tǒng)一定義，所以，它們的一些性質(zhì)，研究它們的一些方法都具有規(guī)律性。當(dāng)0<e1時，點P軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時，點P軌跡是拋物線。
（2）橢圓及雙曲線幾何定義：橢圓：{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2為定點}，雙曲線{P。
PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2為定點}。
（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的，固有的性質(zhì)，不因為位置的改變而改變。①定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上 橢圓及雙曲線中：中心為兩焦點中點，兩準線關(guān)于中心對稱；橢圓及雙曲線關(guān)于長軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸成軸對稱，關(guān)于中心成中心對稱。
②定量：橢 圓 雙 曲 線 拋 物 線 焦 距2c 長軸長2a —— 實軸長 ——2a 短軸長2b 焦點到對應(yīng) 準線距離 P=2 p 通徑長2· 2p 離心率1 基本量關(guān)系 a2=b2+c2 C2=a2+b2 (4)圓錐曲線的標準方程及解析量（隨坐標改變而變） 舉焦點在x軸上的方程如下：橢 圓 雙 曲 線 拋 物 線 標準方程 （a>b>0） (a>0,b>0) y2=2px(p>0) 頂 點 （±a,0） (0，±b) （±a,0） (0,0) 焦 點 （±c,0） ( ,0) 準 線 X=± x= 中 心 （0,0） 有界性 |x|≤a |y|≤b |x|≥a x≥0 焦半徑 P(x0,y0)為圓錐曲線上一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支時： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0 P在左支時： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+ 總之研究圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。2、直線和圓錐曲線位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系判斷：△法（△適用對象是二次方程，二次項系數(shù)不為0）。
其中直線和曲線只有一個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；后一種情形下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項系數(shù)為0。直線和拋物線只有一個公共點包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩種情況；后一種情形下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項系數(shù)為0。
(2)直線和圓錐曲線相交時，交點坐標就是方程組的解。 當(dāng)涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法。
4、圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考，一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。
3.學(xué)習(xí)圓錐曲線要掌握什么知識
圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中屬于提個重難點問題。選擇填空題當(dāng)中的圓錐曲線，一半考察的是概念問題，和一些簡單最值、中點，數(shù)型結(jié)合問題，解題過程比較簡單。當(dāng)然，在大題中，問題的設(shè)置基本比較復(fù)雜，不過都是由簡單到復(fù)雜的設(shè)置。所以前面解答起來并不費事。主要事后面的題型考察綜合能力比較強，一般在規(guī)定的時間內(nèi)可能沒有多余的時間耐心解答。所以會造成空題后者只解答出一般的現(xiàn)象。
從圓錐曲線現(xiàn)在學(xué)習(xí)現(xiàn)狀來說，學(xué)生的被動學(xué)習(xí)現(xiàn)象比較多，題型多變，大多數(shù)學(xué)生沒有耐心鉆研，為了應(yīng)付考試而學(xué)習(xí)，大部分的學(xué)生缺乏主動性，只知道一味的做題做題，并不會總結(jié)，那么同學(xué)們遇到同樣的問題還是不會舉一反三，不會隨機應(yīng)變。而且每個學(xué)生基礎(chǔ)各不相同。那么對老師傳授的知識的接受程度都會不同，那么在學(xué)習(xí)中一味隨大流，沒有想法，還是不能中沃圓錐曲線的知識。
4.有關(guān)圓錐曲線等圖形的有關(guān)知識點的歸納
圓錐曲線年級：高二 科目：數(shù)學(xué) 時間：12/12/200921:11:36 新 6046469圓錐曲線中重要的知識點總結(jié)一下，還有一些經(jīng)典例題。
Gif 解：同學(xué)你好，老師提供以下資料供你參考，希望對你有所幫助： 一、圓錐曲線的定義 1. 橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即：{P||PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即{P。
PF1|-|PF2||=2a,(2a<|F1F2|)}。
3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e1時為雙曲線。
二、圓錐曲線的方程。 1.橢圓：+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)（其中，a2=b2+c2） 2.雙曲線：-=1(a>0, b>0)或-=1(a>0, b>0)（其中，c2=a2+b2） 3.拋物線：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0) 三、圓錐曲線的性質(zhì) 1.橢圓：+=1(a>b>0) (1)范圍：|x|≤a,|y|≤b (2)頂點：（±a,0）,(0，±b) (3)焦點：（±c,0） (4)離心率：e=∈（0,1） (5)準線：x=± 2.雙曲線：-=1(a>0, b>0) (1)范圍：|x|≥a, y∈R (2)頂點：（±a,0） (3)焦點：（±c,0） (4)離心率：e=∈（1，+∞） （5）準線：x=± （6）漸近線：y=±x 3.拋物線：y2=2px(p>0) (1)范圍：x≥0, y∈R (2)頂點：（0,0） (3)焦點：（，0） (4)離心率：e=1 (5)準線：x=- 四、例題選講： 例1.橢圓短軸長為2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到準線的距離是__________。
解：由題：2b=2,b=1,a=2,c==，則橢圓中心到準線的距離：==。 注意：橢圓本身的性質(zhì)（如焦距，中心到準線的距離，焦點到準線的距離等等）不受橢圓的位置的影響。
例2.橢圓+=1的離心率e=，則m=___________。 解：（1）橢圓的焦點在x軸上，a2=m,b2=4,c2=m-4,e2===m=8。
(2)橢圓的焦點在y軸上，a2=4,b2=m,c2=4-m,e2===m=2。 注意：橢圓方程的標準形式有兩個，在沒有確定的情況下，兩種情況都要考慮，切不可憑主觀丟掉一解。
例3.如圖：橢圓+=1(a>b>0),F1為左焦點，A、B是兩個頂點，P為橢圓上一點，PF1⊥x軸，且PO//AB，求橢圓的離心率e。 解：設(shè)橢圓的右焦點為F2，由第一定義：|PF1|+|PF2|=2a， ∵PF1⊥x軸，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即（|PF2|+|PF1|）(|PF2|-|PF1|)=4c2， ∴ |PF1|=。
∵PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA， ∴ = c=ba=c， ∴ e==。 又解，∵PF1⊥x軸，∴ 設(shè)P(-c, y)。
由第二定義：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=， 由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。 例4.已知F1,F2為橢圓+=1的焦點，P為橢圓上一點，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面積。
分析：要求三角形的面積，可以直接利用三角形的面積公式，注意到橢圓中一些量之間的關(guān)系，我們選用面積公式S=absinC。 解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin |PF1|+|PF2|=2a=20, 4*36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos， 即（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1||PF2|=4*36, |PF1|·|PF2|= ∴ SΔ=**=。
解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=*12*yP=6|yP|， 由第二定義：=e|PF1|=a+exP=10+xP， 由第一定義：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP, 4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos, 144=100+=, =64(1-)=64*, SΔ=6|yP|=6*=。 注意：兩個定義聯(lián)合運用解決問題。
從三角形面積公式均可得到結(jié)果。初學(xué)時最好兩種辦法都試試。
例5.橢圓+=1 的焦點為F1和F2，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，求：|PF1|,|PF2|。 分析：先要根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)已知量，將關(guān)于|PF1|,|PF2|的表達式寫出來，再求解。
解：如圖，∵O為F1F2中點，PF1中點在y軸上，∴PF2//y軸，∴PF2⊥x軸， 由第一定義：|PF1|+|PF2|=2a=4, |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2, (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4*9=36， 。 例6.橢圓：+=1內(nèi)一點A(2,2),F1,F2為焦點，P為橢圓上一點，求|PA|+|PF1|的最值。
解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10, |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。 注意：利用幾何圖形的性質(zhì)：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
例7.已知：P為雙曲線-=1(a>0, b>0)上一點，F(xiàn)1,F2為焦點，A1,A2為其頂點。求證：以PF1為直徑的圓與以A1,A2為直徑的圓相切。
證明：不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)PF1中點為O', A1A2中點為O, |OO'|=|PF2|，圓O半徑為|A1A2|，圓O'半徑為|PF1| 由雙曲線定義：|PF1|-|PF2|=|A1A2| |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'| ∴ 兩個圓相內(nèi)切。 注意：可以自己證出P在左支時，兩圓相外切。
例8.已知：過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的直線與拋物線交于P,Q兩點。求證：以線段PQ為直徑的圓與準線相切。
證明：由定義知，如圖：|PP'|=|PF|, |QQ'|=|QF| |PQ|=|PP'|+|QQ'|,|PQ|=(|PP'|+|QQ'|)， 故圓心到準線的距離等于圓的半徑，即圓和準線相切。
5.圓錐曲線知識點總結(jié)
x^2/a^2+y^2/b^2=1或y^2/a^2+x^2/b^2=1（橢圓標準方程）
x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=1（雙曲線標準方程）
以下是拋物線：
y^2=2px，在x軸正半軸上，焦點為（0,p/2），準線方程為（x=-p/2）
y^2=-2px，在x軸負半軸上，焦點為（0,-p/2），準線方程為（x=p/2）
x^2=2py，在y軸正半軸上，焦點為（p/2,0），準線方程為（y=p/2）
x^2=-2py，在y軸正負軸上，焦點為（-p/2,0），準線方程為（y=-p/2）
6.圓錐曲線的知識點及解題方法
解題思路：把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理和一元二次方程的根的判別式和題目要求來做，這就是必須的。
解圓錐曲線問題常用以下方法：
1、定義法
(1)橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。
(2)雙曲線有兩種定義。第一定義中，，當(dāng)r1>r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1,r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點到準線距離”互相轉(zhuǎn)化。
(3)拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。
2、韋達定理法
因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。
3、解析幾何的運算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB中點為M(x0,y0)，將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：
(1)與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)，則有。
(2)與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)則有
(3)y2=2px(p>0)與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)，則有2y0k=2p，即y0k=p.
7.怎樣快速掌握高中圓錐曲線全部知識點
我最近專攻了幾天數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)幾點心得；難題主要是直線與圓錐曲線相交的問題。
如果有三角形面積，就用 xy,(x+y)平方，（x-y）平方代換。若果是有兩個交點，一般要用直線方程中的x表示y，再帶到雙曲線方程中去，這樣直線斜率k就在分子上。
不過也有特殊情況，就是k在分母上，此時用y表示x。選準這一點后面就好做了。
再者就是要記住它的第1,2定義。求軌跡時一般要設(shè)所求點坐標為（x,y）。
然后用k,x表示y，再找出關(guān)于x,y的關(guān)系式，二者結(jié)合即可。至于基礎(chǔ)的東西，最好找個細心女生的筆記看看，其實東西很少，幾分鐘就能看完。
一切ok了。祝你考試順利。
