近世代數(shù)基礎(chǔ)基本知識點(近世代數(shù)的內(nèi)容)

1.近世代數(shù)的內(nèi)容

近世代數(shù)內(nèi)容包括：

整數(shù)、多項式、實數(shù)、復數(shù)、矩陣代數(shù)、線性群、行列式和標準型、布爾代數(shù)和格、超限算術(shù)、環(huán)和理想、代數(shù)數(shù)域和伽羅華理論等。

近世代數(shù)簡介：

近世代數(shù)即抽象代數(shù)。 代數(shù)是數(shù)學的其中一門分支，當中可大致分為初等代數(shù)學和抽象代數(shù)學兩部分。初等代數(shù)學是指19世紀上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程組是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質(zhì)等問題。法國數(shù)學家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的思想的數(shù)學家，一般稱他為近世代數(shù)創(chuàng)始人。他使代數(shù)學由作為解方程的科學轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運算結(jié)構(gòu)的科學，即把代數(shù)學由初等代數(shù)時期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時期。

2.近世代數(shù)包括哪些方面

抽象代數(shù)即近世代數(shù)。

代數(shù)〔Algebra〕是數(shù)學的其中一門分支，當中可大致分為初等代數(shù)學和抽象代數(shù)學兩部分。 初等代數(shù)學是指19世紀上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程〔組〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質(zhì)等問題。

法國數(shù)學家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的思想的數(shù)學家，一般稱他為近世代數(shù)的創(chuàng)始人。

他使代數(shù)學由作為解方程的科學轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運算結(jié)構(gòu)的科學，即把代數(shù)學由初等代數(shù)時期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時期。 抽象代數(shù)學對于全部現(xiàn)代數(shù)學和一些其它科學領(lǐng)域都有重要的影響。

抽象代數(shù)學隨著數(shù)學中各分支理論的發(fā)展和應用需要而得到不斷的發(fā)展。經(jīng)過伯克霍夫、馮.諾伊曼、坎托羅維奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格論確定了在代數(shù)學的地位。

而自20世紀40年代中葉起，作為線性代數(shù)的推廣的模論得到進一步的發(fā)展并產(chǎn)生深刻的影響。泛代數(shù)、同調(diào)代數(shù)、范疇等新領(lǐng)域也被建立和發(fā)展起來。

中國數(shù)學家在抽象代數(shù)學的研究始于30年代。當中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。

============================================================== 現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)課程正在更新。50年代數(shù)學系的教學計劃，以“高等微積分”、“高等代數(shù)”、“高等幾何”為主體。

時至今日，人們認為光靠這“老三高”已不夠用了，應該發(fā)展“新三高”，即抽象代數(shù)、拓撲學和泛函分析?，F(xiàn)代數(shù)學理論是由這三根支柱撐著的。

現(xiàn)在，我們來追尋它們形成和發(fā)展的歷史足跡，并從這一側(cè)面窺視20世紀數(shù)學的特征。 一、抽象代數(shù) 抽象代數(shù)在上一個世紀已經(jīng)有了良好的開端，伽羅瓦在方程求根中就蘊蓄了群的概念。

后來凱利對群作了抽象定義（Cayley,1821~1895）。他在1849年的一項工作里提出抽象群的概念，可惜沒有引起反響。

“過早的抽象落到了聾子的耳朵里”。直到1878年，凱利又寫了抽象群的四篇文章才引起注意。

1874年，挪威數(shù)學家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程時，發(fā)現(xiàn)某些微分方程解對一些連續(xù)變換群是不變的，一下子接觸到連續(xù)群。1882年，英國的馮·戴克（von Dyck,1856~1934）把群論的三個主要來源—方程式論，數(shù)論和無限變換群—納入統(tǒng)一的概念之中，并提出“生成元”概念。

20世紀初給出了群的抽象公里系統(tǒng)。 群論的研究在20世紀沿著各個不同方向展開。

例如，找出給定階的有限群的全體。群分解為單群、可解群等問題一直被研究著。

有限單群的分類問題在20世紀七、八十年代才獲得可能是最終的解決。伯恩賽德（Burnside,1852~1927年）曾提出過許多問題和猜想。

如1902年問道一個群G是有限生成且每個元素都是有限階，G是不是有限群？并猜想每一個非交換的單群是偶數(shù)階的。前者至今尚未解決，后者于1963年解決。

舒爾（Schur,1875~1941）于1901年提出有限群表示的問題。群特征標的研究由弗羅貝尼烏斯首先提出。

龐加萊對群論抱有特殊的熱情，他說：“群論就是那摒棄其內(nèi)容而化為純粹形式的整個數(shù)學。”這當然是過分夸大了。

抽象代數(shù)的另一部分是域論。1910年施泰尼茨（Steinitz,1871~1928）發(fā)表《域的代數(shù)理論》，成為抽象代數(shù)的重要里程碑。

他提出素域的概念，定義了特征數(shù)為P的域，證明了每個域可由其素域經(jīng)添加而得。 環(huán)論是抽象代數(shù)中較晚成熟的。

盡管環(huán)和理想的構(gòu)造在19世紀就可以找到，但抽象理論卻完全是20世紀的產(chǎn)物。韋德伯恩（Wedderburn,1882~1948）《論超復數(shù)》一文中，研究了線形結(jié)合代數(shù)，這種代數(shù)實際上就是環(huán)。

環(huán)和理想的系統(tǒng)理論由諾特給出。她開始工作時，環(huán)和理想的許多結(jié)果都已經(jīng)有了，但當她將這些結(jié)果給予適當?shù)拇_切表述時，就得到了抽象理論。

諾特把多項式環(huán)的理想論包括在一般理想論之中，為代數(shù)整數(shù)的理想論和代數(shù)整函數(shù)的理想論建立了共同的基礎(chǔ)。諾特對環(huán)和理想作了十分深刻的研究。

人們認為這一總結(jié)性的工作在1926年臻于完成，因此，可以認為抽象代數(shù)形成的時間為1926年。范德瓦爾登根據(jù)諾特和阿廷的講稿，寫成《近世代數(shù)學》一書，（1955年第四版時改名為《代數(shù)學》），其研究對象從研究代數(shù)方程根的計算與分布進到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu)。

這就發(fā)生了質(zhì)變。由于抽象代數(shù)的一般性，它的方法和結(jié)果帶有基本的性質(zhì)，因而滲入到各個不同的數(shù)學分支。

范德瓦爾登的《代數(shù)學》至今仍是學習代數(shù)的好書。人們從抽象代數(shù)奠基人——諾特、阿廷等人燦爛的成果中吸取到了營養(yǎng)，從那以后，代數(shù)研究有了長足進展。

=============================================================== 抽象代數(shù) 抽象代數(shù)又稱近世代數(shù)，它產(chǎn)生于十九世紀。 抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學學科。

由于代數(shù)可處理實數(shù)與復數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣超數(shù)、變換等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數(shù)學家將個別的演算經(jīng)由抽。

3.學近世代數(shù)需要哪些數(shù)學基礎(chǔ)（非數(shù)學專業(yè),純粹自己學著玩,本人只

樓上啥專業(yè)的？……

近世代數(shù)這樣看不需要啥基礎(chǔ)，但是里面的東西很抽象，沒有具體的例子就很難理解，如果前面一個定義定理沒有理解清楚就會對后面學到的知識更不清楚。數(shù)學專業(yè)的學起來尚且困難……

學習的時候可以直接看，但是個人建議先有了線性代數(shù)和初等數(shù)論的基礎(chǔ)再看（當然這些可以邊學邊補充，但是不能不看例子，不然學了有什么用呢）。

參考書方面推薦GTM73(T.W.Hungerford的Algebra)，有馮克勤的中文譯本《代數(shù)學》，就是比較老了不太好找。

一定先把線性代數(shù)看了，找本高等代數(shù)的書也不錯。

那個是不是正交變換？線性代數(shù)書里有的，百度一下也可以/view/689186.htm

新年快樂

4.怎樣學好近世代數(shù)

1.課前做好預習工作。

2.上課時一定要注意聽，做好筆記。

3.因為近世代數(shù)節(jié)與節(jié)聯(lián)系性很強，像群，環(huán)，域，。。。其實這幾節(jié)學好群其他兩節(jié)類似這樣學就行了。

4.有什么不明白的一定要請教老師，同學。

5.課后習題一定按質(zhì)按量完成，不懂就要問。

6.如果覺得自己的老師講的不透徹，可以下一下北師大講課的視屏。想鞏固擴展也可以在網(wǎng)上下一些試卷，考題。。。。

做到以上這些，我想你的近世代數(shù)一定沒問題了。

祝你成功！