算矩陣的k次冪方法(線性代數(shù)矩陣的冪計算方法)
1.線性代數(shù)矩陣的冪計算方法有哪些
一般有以下幾種方法
1. 計算A^2,A^3 找規(guī)律， 然后用歸納法證明
2. 若r(A)=1， 則A=αβ^T, A^n=（β^Tα）^（n-1）A
注： β^Tα =α^Tβ = tr（αβ^T）
3. 分拆法： A=B+C, BC=CB， 用二項式公式展開
適用于 B^n 易計算， C的低次冪為零矩陣： C^2 或 C^3 = 0.
4. 用對角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
比如第一題適合用第2種方法， A=(-1,1,1,-1)^T (1,-1,-1,1)
第二題適合用第4種方法， 這要學(xué)過特征值特征向量后才行
2.矩陣的n次冪如何算
把矩陣對角化后，n次方的矩陣就是里面每個元素的n次方 設(shè)一線性變換a，在基m下的矩陣為A，在基n下的矩陣為B,m到n的過渡矩陣為X，那么可以證明：B=X?1AX 那么定義：A,B是2個矩陣。
如果存在可逆矩陣X，滿足B=X?1AX ，那么說A與B是相似的（是一種等價關(guān)系）。如果存在可逆矩陣X使A與一個對角矩陣B相似，那么說A可對角化。
相應(yīng)的，如果線性變換a在基m下的矩陣為A，并且A相似于對角矩陣B，那么令X為過渡矩陣即可求出基n，并且在n下線性變換a的矩陣為對角矩陣，從而達到了化簡。由 m * n 個數(shù)aij排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列的矩陣，簡稱m * n矩陣。
記作：這m*n 個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)aij位于矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的（i,j）元，以數(shù) aij為（i,j）元的矩陣可記為（aij）或（aij）m * n,m*n矩陣A也記作Amn。元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。
而行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。擴展資料：兩個矩陣的乘法僅當(dāng)?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)和另一個矩陣B的行數(shù)相等時才能定義。
如A是m*n矩陣和B是n*p矩陣，它們的乘積C是一個m*p矩陣 ，它的一個元素：并將此乘積記為： .例如：矩陣的乘法滿足以下運算律：結(jié)合律： 左分配律： 右分配律： 矩陣乘法不滿足交換律。矩陣分解是將一個矩陣分解為比較簡單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積 [15] ，矩陣的分解法一般有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。
在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。相似關(guān)系是兩個矩陣之間的一種等價關(guān)系。
兩個n*n矩陣A與B為相似矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在一個n*n的可逆矩陣P，使得： 或 。參考資料：百度百科---矩陣。
3.線性代數(shù)矩陣的冪計算方法
一般有以下幾種方法
1. 計算A^2,A^3 找規(guī)律， 然后用歸納法證明
2. 若r(A)=1， 則A=αβ^T, A^n=（β^Tα）^（n-1）A
注： β^Tα =α^Tβ = tr（αβ^T）
3. 分拆法： A=B+C, BC=CB， 用二項式公式展開
適用于 B^n 易計算， C的低次冪為零矩陣： C^2 或 C^3 = 0.
4. 用對角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
比如第一題適合用第2種方法， A=(-1,1,1,-1)^T (1,-1,-1,1)
第二題適合用第4種方法， 這要學(xué)過特征值特征向量后才行
4.線性代數(shù) 方陣的k次冪
【分析】求方陣k次冪1、若r(A)=1，則A^k = L^(k-1)A2、若A=B+kE ,B的主對角線元素及其另一半元素都為0，則A^k = (B+kE)^k，利用二項式定理。
3、利用相似對角陣來求解?！窘獯稹匡@然A是實對稱矩陣，必然可相似對角陣BP-1AP = B,B為-2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2α1是A屬于-2的特征向量，α2，α3，α4是A屬于2的特征向量。
令P=（α1，α2，α3，α4）P-1A^kP = B^k A^k = PB^kP-1newmanhero 2015年3月5日21:30:08希望對你有所幫助，望采納。
5.線性代數(shù) 方陣的k次冪
【分析】
求方陣k次冪
1、若r(A)=1，則A^k = L^(k-1)A
2、若A=B+kE ,B的主對角線元素及其另一半元素都為0，則A^k = (B+kE)^k，利用二項式定理。
3、利用相似對角陣來求解。
【解答】
顯然A是實對稱矩陣，必然可相似對角陣B
P-1AP = B,B為
-2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
α1是A屬于-2的特征向量，α2，α3，α4是A屬于2的特征向量。令P=（α1，α2，α3，α4）
P-1A^kP = B^k
A^k = PB^kP-1
newmanhero 2015年3月5日21:30:08
希望對你有所幫助，望采納。
